সরল দোলন গতি (simple harmonic motion)

সরল দোলন : যদি কোনো কণার গতি সরল দোলন গতি পর্যাবৃত গতিসম্পন্ন হয় এবং গতিপথ সরলরৈখিক হয় এবং ত্বরণ সর্বদা একটি বিন্দুমুখী হয় এবং এর ত্বরণ সাম্যাবস্থা থেকে সরণের সমানুপাতিক হয়, তবে এরূপ গতিকে সরল দোলন গতি বলা হয়।

কোনো ভারী কণা একটি সুতা দ্বারা ঝুলিয়ে দিয়ে নাড়িয়ে দিলে তা সরল দোলন গতিতে চলতে থাকে । কোনো পর্যায় গতিসম্পন্ন বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল ত্বরণ যদি সর্বদা  এর গতিপথের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু অভিমুখে এমনভাবে ক্রিয়া করে যে , এর মান ঐ বিন্দু হতে বস্তুর সরণের সমানুপাতিক হয় , তবে ঐ উক্তি গতিকে সরল দোলন গতি বলে । সাধারণ অর্থে যখন কোনো বস্তু সরল রেখায় এমনভাবে দোলে যে ত্বরণ , সরণের সমানুপাতিক হয় ও বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে এবং বস্তুটি একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর একই অবস্থানে ফিরে এসে বার বার একই দিকে চলতে থাকে ,তখন ঐ বস্তুর গতিকে সরল দোলন গতি বলে। সরল দোলকের গতি , কম্পমান সুরেলী কাঁটার গতি ইত্যাদি সরল দোলন গতি।

উত্তরঃ একটি প্রসারণশীল সুতার দ্বারা কোনো ভারী বস্তু দৃঢ অবলম্বন থেকে ঝুলিয়ে দিলে এটা স্বাভাবিক অবস্থায় ঝুলতে থাকবে। সুতা সমেত বস্তুটিকে সাধারণ দোলক বা সরল দোলক বলে।

উত্তরঃ কোনো সরল দোলকের দোলন কাল যদি ২ সেকেন্ড হয় অর্থাৎ এ দোলতের এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে পৌঁছাতে এক সেকেন্ড লাগে, তাকে সেকেন্ড দোলক বলে।

উত্তরঃ একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে ববের যে সময় লাগে, তাকে দোলনকাল বলে।

উত্তরঃ ঝুলন্ত বিন্দু ইয়হেকে ববের ভারকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্বকে সরল দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য বলে।

উত্তরঃ T = 2π√L/g

উত্তরঃ কোনো বস্তু সরল রেখায় এমনভাবে দোলে যে-ত্বরণ, সরণের সমানুপাতিক হয় ও বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে বস্তুটি একটি নির্দিষ্ট সময় অন্তর অন্তর একই অবস্থায় ফিরে এসে বার বার একই দিকে চলতে থাকে, তখন বস্তুর ঐ গতিকে সরল দোলন বলে।

উত্তরঃ আমরা জানি, সরল দোলকের সাধারণ সমীকরণ,

T = 2π√L/ g 

বা, T²= 4π^2L_g                      [ বর্গ করে ] 

বা, L = T² g / 4π² 

؞ L = (2)² g/4.π²= 4g / 4 π² = g / π² 

؞ সেকেন্ড দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য, L = g / π² 

উত্তরঃ সরল দোলকের সূত্রসমূহঃ

(ক) ১ম সূত্র - সমকাল সূত্রঃ কোনো একস্থানে নিদির্ষ্ট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট কোনো একটি সরল দোলকের বিস্তার 4 ডিগ্রির মধ্যে থাকলে এর প্রতিটি দোলনের জন্য সমান সময় লাগবে।

কাজেই কার্যকরী দৈর্ঘ্য L ও অভিকর্ষীয় ত্বরণ g স্থির থাকলে এবং θ < 4° হলে , দোলনকাল, T = ধ্রুব ।

(খ) ২য় সূত্র - দৈর্ঘ্যের সূত্রঃ বিস্তার 4 ডিগ্রির মধ্যে থাকলে কোনো নির্দিষ্ট স্থানে সরল দোলকের দোলনকালে তার কার্যকরী দৈর্ঘ্যের বর্গ্মূলের সমানুপাতিক ।

যদি T দোলনকাল এবং L কার্যকরী দৈর্ঘ্য এবং θ < 4° হয়, T দোলনকাল এবং L কার্যকরী দৈর্ঘ্য এবং θ < 4° হয়, তবে সূত্রানুসারে T ∞ √L অর্থাৎ কার্যকরী দৈর্ঘ্য চার গুণ বাড়লে দোলনকাল দুই গুণ বাড়বে বা কার্যকরী দৈর্ঘ্য চার গুণ কমলে দোলনকাল দুই গুণ কমবে ইত্যাদি। 

(গ) ৩য় সূত্র – ত্বরণের সূত্রঃ বিস্তার 4 ডিগ্রির মধ্যে থাকলে নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট কোনো একটি সরল দোলকের দোলনকাল ঐ স্থানের অভিকর্ষীয় বা অভিকর্ষজ ত্বরণের বর্গমূলের ব্যাস্তানুপাতিক। দোলনকাল T এবং অভিকর্ষীয় ত্বরণ g হলে, সূত্রানুসারে একই কার্যকরী দৈর্ঘ্য অর্থাৎ L = ধ্রুব ও θ < 4°হলে,

T ∞ 1/√ g

অর্থাৎ, g বাড়লে T কমবে এবং g কমলে T বাড়বে।

(ঘ) ৪র্থ সূত্র – ভরের সূত্রঃ বিস্তার 4° মধ্যে ও মধ্যে ও কার্যকরী দৈর্ঘ্য স্থির থাকলে কোনো স্থানে সর দোলকের দোলনকাল পিন্ডের ভর আকৃতি বা পাদানের উপর নির্ভর করে না।

উত্তরঃ ধরা যাক, একটি সরল দোলকের দোলক পিন্ডের ভর m এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য L । দোলক পিন্ডটি যখন OA সাম্যবস্থানে থাকে তখন এর উপর mg বল খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে, যা সুতার টান দ্বারা প্রশমিত হয়। দোলক পিন্ডটি যখন সাম্যবস্থান OA হতে θ কোণে OB অবস্থানে আসে তখন mg বল দুটো উপাংশে বিভাজিত হয় - একটি mg cosθ সুতার টান দ্বারা প্রশমিত হয় কিন্তু mgsinθ প্রত্যয়নী বল হিসেবে কাজ করে, যার কারণে দোলকটি দুলতে থাকে।

θ কৌণিক অবস্থানে দোলক পিন্ডের সরণ x হলে আমরা লিখতে পারি-

কোণ = চাপ / ব্যাসার্থ

অর্থাৎ, θ = X / L ................(i)

এক্ষেত্রে প্রত্যয়নী বলের মান, F = - mg sinθ    [(-) চিহ্ন বল ও সরণ বিপরীত দিকে নির্দেশ করে]

θ ক্ষুদ্র হলে sinθ ≈ θ

বা, F = mgθ

বা, F = mg x/L                                                    [ 1 নং সমীকরণ হতে ]

বা, F = -mg/L .X  …………….(ii)

؞ F = -k x                                                             [m, g এবং L ধ্রুবক ] ………………(iii)

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,

                    ma = mg/L .x     [ F = ma ]

                     ؞ a = g /L . x ……………..(iv)

আবার (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,

                    ma = -k x

                     ؞ a = k/m . x .................. (v)

                 বা,  a = -ධ²x ....................(vi)

এবার (iv) ও (v) নং সমীকরণ হতে পাই, 

                 g/L = K/m  .......................(vii)

আবার (v) ও (vi) নং সমীকরণ হতে পাই,

ධ² = k/m

বা, 4π²/T² = g/L  [  (vii) নং সমীকরণ হতে পাই, ] 

বা, T² = 4π²L/ g

এটাই সরল দোলকের দোলনকালের সমীকরণ।

একটি নির্দিষ্ট স্থানে এবং একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের দোলকের ক্ষেত্রে T একটি ধ্রুবক। কাজেই দোলকের গতি পর্যায় গতি। সমীকরণ হতে আরো প্রমাণিত হয় যে, ববের তথা সরল দোলকের গতি পর্যায় গতি। অতএব, উপরের সিদ্ধান্ত হতে প্রমাণিত হয় যে, অল্প বিস্তারে সরল দোলকের গতি সরল দোলন গতি।